ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಸಮಸ್ಯೆ: ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬದ್ಧರಾಗಿರಬೇಕಾ ಅಥವಾ ಬದಲಿಸಬೇಕಾ?

“ಲೆಟ್ಸ್ ಮೇಕ್ ಎ ಡೀಲ್ “ ಇದು ಅಮೆರಿಕಾದ ಟಿವಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಾರವಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಒಂದು ಗೇಮ್ ಶೋ. ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಎಂಬಾತ ಈ ಶೋ ನೆಡೆಯಿಸಿಕೊಡುತ್ತಿದ್ದ. ನಾವು ವಿಚಾರ ಮಾಡಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಅವನ ಹೆಸರಿನಿಂದಲೇ ಪ್ರಖ್ಯಾತವಾಗಿದೆ. 

ಬಹಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದ್ದ ಈ ಶೋ ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಧಾಳುಗಳು ಬಹುಮಾನ ಗೆಲ್ಲಲು ಊಹಿಸುವ ಗೇಮ್ ಗಳನ್ನು ಆಡಬೇಕು.  ಇಂತಹ ಒಂದು ಗೇಮ್ ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಾಗಿಲುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದರೆ ಬಹುಮಾನವಾಗಿ ಹೊಚ್ಚ ಹೊಸ ಕಾರ್ ಸಿಗುವುದು, ಇನ್ನೆರಡು ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ತೆರೆದರೆ ಆಡುಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ. 

ಶೋ ನಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುತ್ತಿರುವ ಸ್ಪರ್ಧಾಳುಗಳು ಮೂರರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದರೆ ಕಾರ್ ಸಿಗಬಹುದು ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ಊಹಿಸಿ ಆ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲಬೇಕು.  ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಒಬ್ಬ ಒಂದನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದರೆ ಕಾರ್ ಸಿಗಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ.

ಶೋ ನೆಡಿಸಿಕೊಡುವ ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಗೆ ಯಾವ ಬಾಗಿಲು ತೆರೆದರೆ ಏನು ಸಿಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ. ಆತ ಈಗ ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಊಹಿಸಿದ ಒಂದನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಇನ್ನುಳಿದ ಎರಡು ಬಾಗಿಲುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡು ಇರುವ ಒಂದು ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಮೂರನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದನೆಂದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಇಷ್ಟ ಪಟ್ಟರೆ ತನ್ನ ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಮೊಂಟಿ ನೀಡುತ್ತಾನೆ. ಅಂದರೆ ಮೊದಲೇ ಊಹಿಸಿದ ಒಂದನೇ ಬಾಗಿಲನ ಬದಲು, ತೆರೆಯದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ ಇದೆ ಎಂದು ತನ್ನ ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಂದನೇ ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆಯೇ ಕಾರ್ ಇದೆ ಎಂಬ ತನ್ನ ಮೊದಲಿನ ನಿರ್ಧಾರಕ್ಕೆ ಬದ್ಧನಾಗಿ ಲಾಕ್ ಮಾಡಿ ಬಿಡಬಹುದು. 

ಈಗ ಪ್ರಶ್ನೆ ಏನೆಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ತನ್ನ ಉತ್ತರ ಬದಲಿಸಬೇಕಾ ಅಥವಾ ಬದ್ಧನಾಗಿರಬೇಕಾ ? ಏನು ಮಾಡಿದರೆ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಜಾಸ್ತಿ? 

ಮರ್ಲಿನ್ ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಎಂಬಾಕೆ ಅಮೆರಿಕಾದ ಪೆರೇಡ್ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ  “ಆಸ್ಕ್ ಮರ್ಲಿನ್” ಎಂಬ ಕಾಲಮ್ ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದರು. ೧೯೯೦ರಲ್ಲಿ ಕ್ರೇಗ್ ಎಫ್. ವಿಟೇಕರ್ ಎಂಬುವವವರು ಈ ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಗೇಮ್ ಅನ್ನು ಗಣಿತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರಲ್ಲಿ ಕೇಳುತ್ತಾರೆ. 

ಅವರು ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆ , ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬಹಳ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕನ್ನಡ ಭಾಷಾಂತರ ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದ್ದೇನೆ. 

“ನೀವು ಒಂದು ಗೇಮ್ ಶೋನಲ್ಲಿ ಇದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಮೂರು ಬಾಗಿಲುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆ ಕಾರು; ಉಳಿದವುಗಳ ಹಿಂದೆ, ಆಡುಗಳು. ನೀವು ಒಂದನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಆರಿಸಿದಿರಿ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಇತರ ಬಾಗಿಲುಗಳ ಹಿಂದೆ ಏನಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಹೋಸ್ಟ್, ಆಡು ಇರುವ ಮೂರನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು  ತೆರೆಯುತ್ತಾನೆ,  ನಂತರ ಅವನು ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ, ”ನೀವು ಈಗ ಎರಡನೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುವಿರಾ?” ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಿಮಗೆ ಪ್ರಯೋಜನವಾಗುವುದೇ?”

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರ ಉತ್ತರವೇನೆಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ನಾವಿದರ ಉತ್ತರ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಮೂರು ಬಾಗಿಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆರೆದು ಅದರಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ಗೊತ್ತಾಗಿದೆ. ಉಳಿದಿರುವ ಎರಡು ಬಾಗಿಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಕಾರಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರಲ್ಲಿ ಆಡು. ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ತೆರೆದರೆ ಕಾರ್ ಇರುವ ಸಂಭಾವನೀಯತೆ ½.  ಅಂದರೆ ಎರಡೂ ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ ಇರುವ ಸಮಾನ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಆಯ್ಕೆಗೇ ಬದ್ಧರಾಗಿರಿ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೇನೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲವೇ?

ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರು ಇದಕ್ಕೆ ”ಅಲ್ಲ” ಎಂದು ಉತ್ತರಿಸುತ್ತಾರೆ. ನೀವು ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶ ಮೂರನೇ ಎರಡು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಮೊದಲಿನ ಆಯ್ಕೆಗೇ ಬದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ ನಿಮ್ಮ ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶ ಕೇವಲ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಮಾತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಅವಕಾಶ ಜಾಸ್ತಿ ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. . 

ಸಾವಂತ್ ಅವರ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಭಾರೀ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬಂದವು. ಯಾರೂ ಅವರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಒಪ್ಪಲು ತಯಾರಿರಲಿಲ್ಲ. ಜನ ಸಾಮಾನ್ಯರನ್ನು ಬಿಡಿ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪಿ ಹೆಚ್ ಡಿ ಮಾಡಿದವರೇ ಸಾವಂತ್ ಅವರ ಉತ್ತರವನ್ನು ತಪ್ಪೆಂದು ಖಂಡಿಸಿದರು. 

ನಿಮ್ಮ ಅಂತರ್ಭೋಧೆ ಕೂಡ, ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ; ಬಿಡಿ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಂತಾನೇ ಹೇಳುತ್ತಿರಬಹುದು. ಹೀಗೆ ನಮ್ಮ ಬುದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆಟವಾಡುವ ಕಾರಣಕ್ಕೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆ ಬಹಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. 

ಆದರೆ ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರ ಉತ್ತರವೇ ಸರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಅನೇಕರು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ವಿಧದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿ ತೋರಿಸಿಕೊಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ.   

ವಿವರಣೆ ಒಂದು : ಮೂರಲ್ಲ, ನೂರು ಬಾಗಿಲುಗಳು 
ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರೇ ಕೊಟ್ಟ ಒಂದು ವಿವರಣೆ ನೋಡೋಣ.

ಮೂರು ಬಾಗಿಲಿನ ಬದಲು, ನೂರು ಬಾಗಿಲುಗಳಿವೆ ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಎಂದಿನಂತೆ ಒಂದು ಬಾಗಿಲನ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದವುಗಳಲ್ಲಿ ಆಡುಗಳಿವೆ. ಸ್ಪರ್ದಾಳು ಊಹಿಸಿದ ಬಾಗಿಲು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ 99 ರಲ್ಲಿ 98 ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು ಮೊಂಟಿ ತೆರೆದು ಆಡು ಇರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತಾನೆ, ಒಂದು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಬಿಟ್ಟು . ಅದೇ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಆತ ಸುಮ್ಮನೇ ಏನೂ ತೆರೆಯದೆ ಬಿಟ್ಟಿಲ್ಲ , ಕಾರ್ ಇರಬಹುದಾದ ಕಾರಣಕ್ಕೇ ಅದನ್ನು ತೆರೆಯದೇ ಬಿಟ್ಟಿದ್ದಾನೆಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. 

ವಿವರಣೆ ಎರಡು: ವರ್ಗವಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ. 
ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬೇಕೆಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಊಹಿಸುವ ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಬಾಗಿಲುಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೂರನೇ ಒಂದು. ಈಗ ಸ್ಪರ್ದಾಳು ಊಹಿಸಿದ ಬಾಗಿಲಿನ ಸುತ್ತ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ವೃತ್ತ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಎರಡು ಬಾಗಿಲನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಇನ್ನೊಂದು ವೃತ್ತ ಬರೆಯಿರಿ. ಎರಡು ಬಾಗಿಲಿರುವ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ  ಒಂದು ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದು ಅದರಲ್ಲಿ ಕಾರಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಾಗ, ಆ ಬಾಗಿಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾದ ಮೂರನೇ ಒಂದು,  ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಉಳಿದ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಗಿಲಿಗೆ ವರ್ಗ ವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಇನ್ನೊಂದು ಬಾಗಿಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೂರನೇ ಎರಡಾಯ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೂರನೇ ಒಂದರ ಬದಲು ಮೂರನೇ ಎರಡಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿವರಣೆ ಮೂರು: ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಬಗೆ ಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ?
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಒಂದು, ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ (Frequentist) ಅಂದರೆ ಘಟನೆಯ ನಿಜವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಆ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕನುಗುಣವಾಗಿ ವಸ್ತು ನಿಷ್ಠ  ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡು, ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಆಧಾರಿತ ಅಂದರೆ ಘಟನೆಯ ಕುರಿತು ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ/ಪುರಾವೆ ಲಭ್ಯವಾದಂತೆ ನಂಬಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾ ಹೋಗುವ ವಿಧಾನ.  

ಆರು ಮುಖದ ಪಗಡೆಯೊಂದನ್ನು ಉರುಳಿಸಿದರೆ ಮೂರು ಅಥವಾ ಇನ್ನಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರನೇ ಒಂದು. ಆದರೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ನೀವು ಪಗಡೆಯೊಂದನ್ನು ಆರು ಸಲ ಉರುಳಿಸಿದರೆ ಆರಕ್ಕೆ ಆರು ಸಲವೂ ಮೂರು ಬೀಳುವ ಅವಕಾಶವಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೀಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಆರನೇ ಒಂದು ಹೇಗೆ ? ಪಗಡೆಯನ್ನು ಆರು ಸಲದ ಬದಲು ನೂರಾರು ಸಲ ಉರುಳಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ ಉರುಳಿಸಿ ನೋಡುವ ಪ್ರಯೋಗದ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಅನುಪಾತ ಆರನೇ ಒಂದು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಇದು ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ವಿಧಾನ. 

ವೊಸ್ ಸಾವಂತ್ ಅವರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಖಂಡಿಸಿದ ಪಿ ಹೆಚ್ ಡಿ ಮಾಡಿದವರು ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅನುಸರಿಸುವವರು. 

ಅನೇಕ ಸಂಧರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ  ಈ ರೀತಿ ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು  ಮಾಡುವ ಅವಕಾಶವೇ ಇರದೇ ಇದ್ದರೂ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜಿಸಬೇಕಾಗಿರುತ್ತದೆ.  ಹವಾಮಾನ ಮುನ್ಸೂಚನೆ ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. ನಾಳೆ ಮಳೆಯಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಊಹಿಸಲು ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ  ಹಿಂದಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ  ಇದೇ ದಿನ ಎಷ್ಟು ಸಲ ಮಳೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಿ ಅಂದಾಜಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ ಹವಾಮಾನ ತುಂಬಾ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ದಿವಸಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ ಈಗಿನ ಉಷ್ಣಾಂಶ, ತೇವಾಂಶ, ವಾಯುಭಾರ ಕುಸಿತ ಮುಂತಾದ ತಾಜಾ ವಿವರಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.  ಈ ಸಂಧರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ವಿಧಾನ ಮುರಿದು ಬೀಳುತ್ತದೆ. 

ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಯನ್ನು ಕೂಡ ಈ ಫ್ರಿಕ್ವೆನ್ಟಿಸ್ಟ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರೆ ಉಳಿದ ಎರಡು ಬಾಗಿಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರು ಇರುವ ಸಮಾನ ಅವಕಾಶವಿದೆ ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಊಹಿಸಿ ಬಿಡಬಹುದು. ಮೊಂಟಿ, ಒಂದು ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದು ಅದರಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾವಣೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ನವೀಕರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲೇ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 

ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ವಿಧಾನ ಬೇಯ್ಸಿಯನ್ ಚಿಂತನಾ ಕ್ರಮ. ರೆವೆರೆಂಡ್ ಥಾಮಸ್ ಬೇಯ್ಸ್ ಎಂಬ ಆಂಗ್ಲ ಗಣಿತಜ್ಞ ರೂಪಿಸಿದ ಈ ಷರತ್ತು ಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮಾಹಿತಿ ಲಭ್ಯವಾದಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನವೀಕರಿಸಕೊಳ್ಳಬಹುದಾಗಿದೆ. 

ಈಗ ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬಳಸಿ ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಮಾಡೋಣ. 

A ಮತ್ತು B ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಬೇಯ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ 

ಬಾಗಿಲುಗಳನ್ನು A, B ಮತ್ತು C ಎಂದು ಗುರುತಿಸೋಣ. ಮೊದಲಿಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೂರನೇ ಒಂದು. 

P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ)  =P(B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ )= P(C ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ) =⅓

ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ಊಹಿಸಿದ ಬಾಗಿಲು A ಆಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಮೊಂಟಿ ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ತೆರೆದು ತೋರಿಸಿದ ಬಾಗಿಲು C  ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ ನಾವು ಕಂಡು ಹಿಡಿಯ ಬೇಕಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಯಾವುದೆಂದರೆ C ಬಾಗಿಲು ತೆರೆದು ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ A ಮತ್ತು B ಬಾಗಿಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರು ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಏನು? ಅಂದರೆ 

P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ।  C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) ಮತ್ತು  P(B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ।  C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ)

[ಹೀಗೆ ಓದಿ – “C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಾಗ A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ”]

ಬೇಯ್ಸ್ ಸೂತ್ರದನ್ವಯ, ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ತನ್ನ  ಆಯ್ಕೆಗೆ ಬದ್ಧನಾಗಿದ್ದರೆ 

 P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ।  C  ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) = P(C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ) *  P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) / P( C  ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) — (1)

ಸ್ಪರ್ಧಾಳು ತನ್ನ  ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ

 P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ।  C  ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) = P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ ) * P(B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) / P( C  ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) —(2)

ಈಗ ಮೊಂಟಿ C ಬಾಗಿಲನ್ನು ತೆರೆದು ಆಡು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. 

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದ್ದರೆ ಉಳಿದೆರಡರಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ. ಮೊಂಟಿ ಬಿ ಅಥವಾ ಸಿ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು 

P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) = 1/2

ಎರಡನೆಯದಾಗಿ B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದ್ದರೆ,  C ಯನ್ನು ತೆರೆದು ಆಡು ತೋರಿಸುವ ಸಂಭವವೇನು? ಕಾರ್ ಇರುವ ಬಾಗಿಲು ಮೊಂಟಿ ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು A ಬಾಗಿಲು ಸ್ಪರ್ಧಾಳುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದ್ದರಿಂದ, ಉಳಿದಿರುವ C ಬಾಗಿಲನ್ನೇ ತೆರೆಯಬೇಕು.    

 P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) = 1

ಕಡೆಯದಾಗಿ C ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದ್ದರೆ, C ಯನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಸಂಭವವೇನು? ಇದು ಸೊನ್ನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಕಾರ್ ಇರುವ ಬಾಗಿಲನ್ನು ಮೊಂಟಿ ತೆರೆಯುವುದಿಲ್ಲ 

 P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । C ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) = ೦

ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆ P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ ).  ಇದನ್ನು ಗಳಿಸಬೇಕಾದರೆ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಬೇಕು. ಆದರೆ ಮೊಂಟಿ ಬಾಗಿಲು ತೆರೆಯುವ ಮುಂಚೆಯೇ ಪ್ರತಿ ಬಾಗಿಲಿನ ಹಿಂದೆ ಕಾರ್ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದ್ದ  ಮೂರನೇ ಒಂದನ್ನು  ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು.  ಇದನ್ನೇ ಪೂರ್ವ ಸಂಭವನೀಯತೆ (prior ) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. 

P(C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ) = [P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) * P(A ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ)] + [ P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) * P(B ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ )] + P( C ನಲ್ಲಿ ಆಡು ಇದೆ । C ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ) * P(C ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ ಇದೆ )]

ಈಗ (1) ಮತ್ತು (2) ಕ್ಕೆ ಕಂಡು ಹಿಡಿದ  ಉತ್ತರಗಳನ್ನ ಹಾಕಿದರೆ 

ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ ಗೆಲ್ಲುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೂರನೇ ಎರಡು. 

ವಿವರಣೆ ನಾಲ್ಕು: ಆಯ್ಕೆಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕೆಳೆಗೆ ನೀಡಿದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೋಡಿ. 

ನನ್ನ ಪ್ರಕಾರ ಬೇಯ್ಸ್ ಚಿಂತನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಮೊಂಟಿ ಹಾಲ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇವತ್ತು ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬೇಯ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಕೃತಕ ಬುದ್ಧಿಮತ್ತೆ, ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುವ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. 

—